Kryterium stabilności Hurwitza — Podstawy automatyki
Kurs online pozwoli Ci dogłębnie zrozumieć, czym jest stabilność układów dynamicznych oraz nauczy Cię wykorzystywać kryterium Hurwitza w zadaniach z automatyki.
CZĘŚĆ TEORETYCZNA
1. Co to jest stabilność?
W tej lekcji przedstawimy pojęcie stabilności na przykładzie prostego układu mechanicznego: kulki poruszającej się po różnych powierzchniach. Poznamy podstawowe definicje związane ze stabilnością oraz wyrobimy sobie jej intuicyjne zrozumienie. Dzięki prostym analogiom będzie Ci łatwiej zrozumieć, jakie czynniki wpływają na stabilność bardziej skomplikowanych systemów, takich jak np. układy elektroniczne, mechaniczne czy chociażby hydrauliczne.
2. Przybliżenia w automatyce. Czym są układy SISO i SLS ?
Świat jest skomplikowany, dlatego warto go upraszczać poprzez stosowanie odpowiednich przybliżeń. W tej lekcji poznasz te przybliżenia, które znajdują zastosowanie w automatyce oraz teorii sterowania. Zrozumiesz, czym są układy stacjonarne, liniowe i skupione. Omówimy również jakimi układami będziemy zajmować w dalszej części kursu stabilności.
3. Modele matematyczne stosowane w automatyce
Bez matematyki się jednak nie obędzie. W ostatniej lekcji dokonaliśmy przybliżeń, teraz możemy zająć się modelowaniem. W tej lekcji pokrótce omówimy wielką trójkę automatyki: równanie różniczkowe, transmitancję i równanie stanu.
4. Więcej o równaniu różniczkowym i transmitancji
W tej części dokładniej przyjrzymy się modelom typu wejście-wyjście: transmitancji i równaniu różniczkowemu. Omówimy ich podstawowe właściwości i pokażemy, w jaki sposób wiąże je ze sobą transformata Laplace’a. Na końcu lekcji wyprowadzimy wzór na transmitancję z równania różniczkowego.
5. Wielomian charakterystyczny a stabilność
Przygotowując się do zrozumienia kryterium Hurwitza, w lekcji poznamy najbardziej podstawowe kryterium pozwalające badać stabilność układów SLS. Nauczymy się wyznaczać wielomian charakterystyczny układu oraz dowiemy się, jak w praktyce określa się stabilność układów dynamicznych. Zdefiniujemy odpowiedź impulsową układu dynamicznego oraz poznamy deltę Diraca. Na końcu lekcji pokażemy na przykładzie układu drugiego rzędu, jak położenie pierwiastków wielomianu charakterystycznego wpływa na stabilność układu.
6. Rozbudowany przykład
Zdobytą do tej pory wiedzę utrwalimy, wykorzystując ją do analizy zachowania stabilności prostego modelu mechanicznego. W kolejnych trzech lekcjach zbudujemy matematyczny model tego układu i na podstawie symulacji zbadamy stabilność dla różnych wartości jego parametrów.
- Przykład część I: Wyprowadzenie modelu matematycznego
W pierwszej części przykładu stworzymy model matematyczny prostego układu mechanicznego, wykorzystując do tego podstawowe zasady dynamiki. Następnie zachowanie układu opiszemy za pomocą równania różniczkowego i transmitancji. Wyznaczymy również jego wielomian charakterystyczny. Równanie różniczkowe lub transmitancja zapewnią nam powiązanie wielkości wejściowej z wyjściową. Dzięki wielomianowi charakterystycznemu wyznaczymy wartości własne układu i określimy jego stabilności. - Przykład część II: Stabilność modelu w zależności od parametrów
Model matematyczny uzyskany w poprzednio poddamy kilku modyfikacjom otrzymując zarówno wersje stabilne jak i niestabilne. - Przykład część III: Układ jeszcze bardziej niestabilny
W trzeciej części zastanowimy się, co właściwie powoduje niestabilność w układach dynamicznych. Przyjmiemy rolę antyinżyniera, próbując zmodyfikować nasz model w taki sposób, aby stał się jeszcze bardziej niestabilny.
7. Kryterium Hurwitza
W ostatniej lekcji części teoretycznej omówimy dwa kryteria badania stabilności: kryterium Hurwitza i warunek konieczny. W lekcji poznasz warunki, jakie muszą być spełnione, aby układ był stabilny. Nauczysz się tworzyć macierz Hurwitza na podstawie wielomianu charakterystycznego układu. Dowiesz się również czym są minory macierzy Hurwitza i jak je obliczać.
CZĘŚĆ ZADANIOWA
ZADANIE I — STABILNOŚĆ TRANSMITANCJI
Proste zadanie na początek. Za pomocą kryterium Hurwitza zbadamy stabilność układu opisanego transmitancją. Do badania stabilności wykorzystamy również warunek konieczny.
ZADANIE II — STABILNOŚĆ RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO
W zadaniu sprawdzimy za pomocą kryterium stabilności Hurwitza stabilność układu opisanego równaniem różniczkowym. Do badania stabilności wykorzystamy również warunek konieczny.
ZADANIE III — ZAKRES WZMOCNIENIA REGULATORA
Przeanalizujemy układ automatycznej regulacji z regulatorem proporcjonalnym. Wykorzystując kryterium Hurwitza, określimy zakres wzmocnienia regulatora, dla którego układ będzie stabilny. Co więcej, nauczymy się stosować wzór na transmitancję zastępczą pętli sprzężenia zwrotnego, a na końcu lekcji go wyprowadzimy.
ZADANIE IV — OBSZAR STABILNOŚCI
W zadaniu przeanalizujemy sterowanie obiektem o nieznanej stałej czasowej za pomocą regulatora proporcjonalnego. Stosując kryterium Hurwitza, wyznaczymy w nim obszar parametrów (wzmocnienie, stała czasowa), dla którego układ automatycznej regulacji będzie stabilny.
DOŁĄCZ DO KURSU I OPANUJ STABILNOŚĆ TAK JAK TWÓRCY FALCON 9!
