Kryterium stabilności Hurwitza — Podstawy automatyki

Kryterium stabilności Hurwitza — Podstawy automatyki

Kurs online pozwoli Ci dogłębnie zrozumieć, czym jest stabilność układów dynamicznych oraz nauczy Cię wykorzystywać kryterium Hurwitza w zadaniach z automatyki.

CZĘŚĆ TEORETYCZNA

1. Co to jest stabilność?

W tej lekcji przedstawimy pojęcie stabilności na przykładzie prostego układu mechanicznego: kulki poruszającej się po różnych powierzchniach. Poznamy podstawowe definicje związane ze stabilnością oraz wyrobimy sobie jej intuicyjne zrozumienie. Dzięki prostym analogiom będzie Ci łatwiej zrozumieć, jakie czynniki wpływają na stabilność bardziej skomplikowanych systemów, takich jak np. układy elektroniczne, mechaniczne czy chociażby hydrauliczne.

2. Przybliżenia w automatyce. Czym są układy SISO i SLS ?

Świat jest skomplikowany, dlatego warto go upraszczać poprzez stosowanie odpowiednich przybliżeń. W tej lekcji poznasz te przybliżenia, które znajdują zastosowanie w automatyce oraz teorii sterowania. Zrozumiesz, czym są układy stacjonarne, liniowe i skupione. Omówimy również jakimi układami będziemy zajmować w dalszej części kursu stabilności.

3. Modele matematyczne stosowane w automatyce

Bez matematyki się jednak nie obędzie. W ostatniej lekcji dokonaliśmy przybliżeń, teraz możemy zająć się modelowaniem. W tej lekcji pokrótce omówimy wielką trójkę automatyki: równanie różniczkowe, transmitancję i równanie stanu.

4. Więcej o równaniu różniczkowym i transmitancji

W tej części dokładniej przyjrzymy się modelom typu wejście-wyjście: transmitancji i równaniu różniczkowemu. Omówimy ich podstawowe właściwości i pokażemy, w jaki sposób wiąże je ze sobą transformata Laplace’a. Na końcu lekcji wyprowadzimy wzór na transmitancję z równania różniczkowego.

5. Wielomian charakterystyczny a stabilność

Przygotowując się do zrozumienia kryterium Hurwitza, w lekcji poznamy najbardziej podstawowe kryterium pozwalające badać stabilność układów SLS. Nauczymy się wyznaczać wielomian charakterystyczny układu oraz dowiemy się, jak w praktyce określa się stabilność układów dynamicznych. Zdefiniujemy odpowiedź impulsową układu dynamicznego oraz poznamy deltę Diraca. Na końcu lekcji pokażemy na przykładzie układu drugiego rzędu, jak położenie pierwiastków wielomianu charakterystycznego wpływa na stabilność układu.

6. Rozbudowany przykład

Zdobytą do tej pory wiedzę utrwalimy, wykorzystując ją do analizy zachowania stabilności prostego modelu mechanicznego. W kolejnych trzech lekcjach zbudujemy matematyczny model tego układu i na podstawie symulacji zbadamy stabilność dla różnych wartości jego parametrów.

• Przykład część I: Wyprowadzenie modelu matematycznego
  W pierwszej części przykładu stworzymy model matematyczny prostego układu mechanicznego, wykorzystując do tego podstawowe zasady dynamiki. Następnie zachowanie układu opiszemy za pomocą równania różniczkowego i transmitancji. Wyznaczymy również jego wielomian charakterystyczny. Równanie różniczkowe lub transmitancja zapewnią nam powiązanie wielkości wejściowej z wyjściową. Dzięki wielomianowi charakterystycznemu wyznaczymy wartości własne układu i określimy jego stabilności.
• Przykład część II: Stabilność modelu w zależności od parametrów
  Model matematyczny uzyskany w poprzednio poddamy kilku modyfikacjom otrzymując zarówno wersje stabilne jak i niestabilne.
• Przykład część III: Układ jeszcze bardziej niestabilny
  W trzeciej części zastanowimy się, co właściwie powoduje niestabilność w układach dynamicznych. Przyjmiemy rolę antyinżyniera, próbując zmodyfikować nasz model w taki sposób, aby stał się jeszcze bardziej niestabilny.

7. Kryterium Hurwitza

W ostatniej lekcji części teoretycznej omówimy dwa kryteria badania stabilności: kryterium Hurwitza i warunek konieczny. W lekcji poznasz warunki, jakie muszą być spełnione, aby układ był stabilny. Nauczysz się tworzyć macierz Hurwitza na podstawie wielomianu charakterystycznego układu. Dowiesz się również czym są minory macierzy Hurwitza i jak je obliczać.

CZĘŚĆ ZADANIOWA

ZADANIE I — STABILNOŚĆ TRANSMITANCJI

Proste zadanie na początek. Za pomocą kryterium Hurwitza zbadamy stabilność układu opisanego transmitancją. Do badania stabilności wykorzystamy również warunek konieczny.

ZADANIE II — STABILNOŚĆ RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO

W zadaniu sprawdzimy za pomocą kryterium stabilności Hurwitza stabilność układu opisanego równaniem różniczkowym. Do badania stabilności wykorzystamy również warunek konieczny.

ZADANIE III — ZAKRES WZMOCNIENIA REGULATORA

Przeanalizujemy układ automatycznej regulacji z regulatorem proporcjonalnym. Wykorzystując kryterium Hurwitza, określimy zakres wzmocnienia regulatora, dla którego układ będzie stabilny. Co więcej, nauczymy się stosować wzór na transmitancję zastępczą pętli sprzężenia zwrotnego, a na końcu lekcji go wyprowadzimy.

ZADANIE IV — OBSZAR STABILNOŚCI

W zadaniu przeanalizujemy sterowanie obiektem o nieznanej stałej czasowej za pomocą regulatora proporcjonalnego. Stosując kryterium Hurwitza, wyznaczymy w nim obszar parametrów (wzmocnienie, stała czasowa), dla którego układ automatycznej regulacji będzie stabilny.

DOŁĄCZ DO KURSU I OPANUJ STABILNOŚĆ TAK JAK TWÓRCY FALCON 9!

TAGI

Metody numeryczne w Octave

Zbiór podstawowych metod numerycznych napisanych w Octave.

Metody numeryczne w Octave

Produkt ten powstał z myślą o osobach uczących się metod numerycznych. Stanowi on zbiór dziewięciu programów napisanych w języku GNU Octave okraszonych soczystą ilością dodatkowych komentarzy mających ułatwić zrozumienie kodu.

Interpolacja

Interpolacja to metoda numeryczna służąca do wyznaczania funkcji interpolującej, która przyjmuje z góry zadane wartości, w ustalonych punktach nazywanych węzłami. W tym module znajdziesz gotowe przykłady implementacji interpolacji wielomianowej w języku GNU Octave w tym interpolacji Lagrange’a.

Interpolacja Lagrange’a

Interpolacja Lagrange’a to metoda numeryczna pozwalająca w efektywny sposób znaleźć wielomian interpolujący.

W produkcie znajdziesz implementację metody interpolacji Lagrange’a w języku GNU Octave. Przykładowy wynik działania programu możesz zobaczyć na obrazku poniżej.

Aproksymacja

Aproksymacja to metoda numeryczna służąca do wyznaczenia w sposób przybliżony analitycznego opisu skomplikowanych funkcji, może również służyć do budowania modeli statystycznych (regresja liniowa).

Aproksymacja wielomianowa

W produkcie znajdziesz implementację aproksymacji wielomianowej w języku GNU Octave. Przykładowy wynik działania aproksymacji możesz zobaczyć na obrazku poniżej.

Rozwiązywanie równań nieliniowych

W tym module znajdziesz gotowe implementacje metod numerycznych w języku GNU Octave służących do rozwiązywania równań nieliniowych z jedną niewiadomą lub poszukiwania miejsc zerowych funkcji jednej zmiennej.

Metoda Bisekcji

Metoda bisekcji nazywana jest również metodą równego podziału, metodą połowienia, lub metodą połowienia przedziału jest najprostszą z metod pozwalającą wyznaczyć miejsce zerowe funkcji, lub pierwiastek równania. Prostota metody połowienia obarczona jest kosztem powolnej zbieżności. Przeczytaj więcej o tej metodzie: PL, ENG.

W produkcie znajdziesz implementację metody bisekcji w języku GNU Octave na przykładzie, w którym znajduje ona rzeczywisty pierwiastek wielomianu trzeciego stopnia.

Metoda Newtona

Główną przewagą metody Newtona nazywanej również metodą Newtona-Raphsona nad metodą siecznych jest jej szybkość. Przeczytaj więcej o tej metodzie: PL, ENG.

W produkcie znajdziesz implementację metody Newton’a – Raphson’a w języku GNU Octave na przykładzie, w którym znajduje ona rzeczywisty pierwiastek wielomianu trzeciego stopnia.

Metoda Siecznych

Metoda siecznych stanowi pewne udoskonalenie metody Newtona, dzięki któremu znajomość pochodnej funkcji nie jest potrzebna. Przeczytaj więcej o tej metodzie: PL, ENG.

W produkcie znajdziesz implementację metody siecznych w języku GNU Octave na przykładzie, w którym znajduje ona rzeczywisty pierwiastek wielomianu trzeciego stopnia.

Całkowanie numeryczne

Obliczanie całek w sposób analityczny nie zawsze jest możliwe. Z pomocą przychodzą metody całkowania numerycznego, pozwalające obliczać całki w sposób przybliżony.

Metoda prostokątów

W produkcie znajdziesz implementację całkowania numerycznego za pomocą metody prostokątów (wzór złożony prostokątów) w języku GNU Octave na przykładzie, w którym oblicza ona całkę z funkcji sinus. Przeczytaj więcej o tej metodzie: PL, ENG.

Metoda trapezów

W produkcie znajdziesz implementację całkowania numerycznego za pomocą metody trapezów (wzór złożony trapezów) w języku GNU Octave na przykładzie, w którym oblicza ona całkę z funkcji sinus. Przeczytaj więcej o tej metodzie: PL, ENG.

Metody numeryczne w Octave

Prąd przemienny — Teoria obwodów

Kurs powstał z myślą o studentach polskich politechnik, kierunków technicznych i uczniach techników elektrycznych mierzących się ze zrozumieniem złożonej teorii obwodów prądu harmonicznego (częściej nazywanego prądem sinusoidalnym). Celem kursu jest skuteczne nauczenie Ciebie rozwiązywania obwodów prądu przemiennego.

Gruntowne zrozumienie i zgłębienie podstaw obwodów AC i DC to solidny grunt do dalszej nauki elektrotechniki. Prąd harmoniczny jest czymś, z czego każdy z nas korzystamy codziennie. Warto go zrozumieć dokładniej przechodząc przez ten kurs.

Ten produkt jest dla Ciebie jeśli:

• Chciałbyś szybko i efektywnie przygotować się do kolokwium lub egzaminu.
• Zależy Ci na lepszej ocenie.
• Nie uczęszczałeś na zajęcia i masz braki w materiale.
• Chcesz samodzielnie i w spokoju zrozumieć podstawy prądu przemiennego.
• Lubisz uczyć się w swoim tempie i o konkretnej godzinie.
• Powtarzasz przedmiot i nie możesz uczęszczać na zajęcia.
• Nie masz czasu na zajęcia, bo pracujesz.
• Jesteś nocnym markiem i nie możesz skupić się na wykładach i ćwiczeniach.

Co muszę umieć, żeby przystąpić do kursu?

• Metody rozwiązywania obwodów prądu harmonicznego wymagają podstawowych umiejętności w posługiwaniu się liczbami zespolonymi. Musisz umieć wykonywać podstawowe działania na liczbach zespolonych takie jak: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, sprzęganie, obliczanie modułu, argumentu, części rzeczywistej i urojonej oraz zamiana postaci kartezjańskiej na postać wykładniczą i odwrotnie. Nie przejmuj się! Jako bonus w e-booku znajdziesz rozdział przypominający większość podstawowej wiedzy z zakresu liczb zespolonych.
• By w stu procentach zrozumieć część teoretyczną dotyczącą wartości średnich i skutecznych oraz wyprowadzeń wzorów na impedancje rezystora, cewki i kondensatora warto znać podstawy analizy matematycznej takie jak pochodne i całki. Wiedza jest wymagana do zrozumienia wyprowadzeń wzorów, ale nie jest niezbędna do rozwiązywania obwodów.
• Przy rozwiązywaniu zadań z obwodów elektrycznych stosowana jest metoda prądów oczkowych warto, żebyś znał ją wcześniej.

Co znajdę w kursie?

MODUŁ 1 – WARTOŚĆ ŚREDNIA I SKUTECZNA

Długość modułu: 18 min

• Wartość średnia – definicja i przykład
• Przykład 1 – Wyprowadzenie wzoru na wartość średnią sygnału prostokątnego.
• Przykład 2 – Wyprowadzenie wzoru na wartość średnią sygnału harmonicznego.
• Wartość skuteczna – definicja i przykład
• Przykład 3 – Wyprowadzenie wzoru na wartość skuteczną sygnału prostokątnego.
• Przykład 4 – Wyprowadzenie wzoru na wartość skuteczną sygnału harmonicznego.

Kurs rozpoczniemy od zrozumienia podstawowych wielkości opisujących prąd okresowy. W tym module poznasz definicje wartości średniej i skutecznej prądu / napięcia okresowego. Poza suchymi definicjami będziemy również kładli nacisk na intuicyjne zrozumienie omawianych wielkości. Jest to moduł teoretyczno-praktyczny, dlatego pokażę Ci, w jaki sposób wyprowadzić wprost z definicji wzory na wartość średnią i skuteczną sygnału prostokątnego i cosinusoidalnego (często spotykane na kolokwiach).

MODUŁ 2 – OBWODY PRĄDU HARMONICZNEGO (SINUSOIDALNEGO)

Długość modułu: 50 min

• Omówienie elementarnych elementów biernych (rezystor, cewka, kondensator) idealnych i rzeczywistych
• Podział elementów na stacjonarne, liniowe i skupione
• Stan ustalony w obwodzie elektrycznym – definicja
• Przebieg harmoniczny – definicja i omówienie: amplituda, pulsacja, częstotliwość, faza początkowa
• Wskaz, wartość skuteczna zespolona – wprowadzenie definicja i omówienie
• Impedancja rezystora – wyprowadzenie oraz definicja impedancji na przykładzie rezystora
• Impedancja cewki – wyprowadzenie wzoru na impedancję cewki oraz jego omówienie
• Impedancja kondensatora – wyprowadzenie wzoru na impedancję kondensatora oraz jego omówienie
• Metoda amplitud zespolonych (metoda symboliczna) – intuicyjne wprowadzenie na przykładzie prostego obwodu prądu harmonicznego do metody amplitud zespolonych

Teoria obwodów to dziedzina upraszczająca skomplikowaną rzeczywistość wszechstronnych oddziaływań elektromagnetycznych do dużo prostszych obwodów. Celem tego modułu jest teoretyczne przygotowanie Ciebie do rozwiązywania zadań z prądu przemiennego, dlatego jego początek poświęcimy na omówienie elementarnych, idealnych elementów biernych RLC. Ich właściwości sklasyfikujemy w ramach podziału na elementy stacjonarne, liniowe i skupione (obwody SLS, elementy SLS) oraz nakreślimy dokładniej jakimi obwodami będziemy zajmować się w tym kursie. Następnie, poznamy definicje stanu ustalonego w obwodzie elektrycznym oraz omówimy parametry przebiegów harmonicznych. W dalszym ciągu wprowadzimy pojęcie wskazu lub wartości skutecznej zespolonej oraz wyprowadzimy wzory na impedancje idealnych elementów RLC. Na samym końcu omówimy na przykładzie prostego obwodu metodę amplitud zespolonych, nazywaną również metodą symboliczną.

MODUŁ 3 – ZADANIA

Długość modułu: 26 min

• Zadanie 1 – rozwiązanie obwodu prądu harmonicznego z jednym oczkiem

• Zadanie 2 – rozwiązanie obwodu prądu harmonicznego zawierającego dwa oczka proste

Ostatni moduł poświęcimy na praktykę. Rozwiążemy w nim dwa obwody prądu harmonicznego, czyli wyznaczymy przebiegi chwilowe natężeń prądów gałęziowych i napięć na elementach stosując metodę amplitud zespolonych.

BONUSY

• E-book – Dostaniesz dostęp do obszernego e-booka (60 stron skryptu w formacie PDF), zawierającego definicje pojęć, rozwiązania numeryczne analizowanych obwodów i zadanie domowe.
• Skrypty Octave – Skrypty środowiska GNU Octave. Do każdego obwodu rozwiązywanego w kursie dołączony jest skrypt GNU Octave (darmowe środowisko obliczeniowe podobne do MATLAB), który automatycznie rozwiązuje równania. Napisanie programu komputerowego, który automatycznie rozwiązuje obwód, często wymagane jest na zajęciach odbywających się na uczelniach wyższych.
• Liczby zespolone – W e-booku znajdziesz rozdział z definicjami i właściwościami liczb zespolonych.
• Zadania domowe – Do każdej metody dołączone są dwa zadania do samodzielnego rozwiązania daną metodą.

TAGI

Opinie uczniów

Dodaj opinię

Prąd stały — Teoria Obwodów

Pierwsza część serii kursów pokrywa podstawowe zagadnienia z elektrotechniki (lub teorii obwodów prądu stałego) wymagane na polskich politechnikach, kierunkach technicznych czy technikach. Celem kursu jest skuteczne nauczenie Ciebie rozwiązywania obwodów prądu stałego.

Ten produkt jest dla Ciebie jeśli:

• Chciałbyś szybko i efektywnie przygotować się do kolokwium lub egzaminu.
• Nie uczęszczałeś na zajęcia i masz braki w materiale.
• Chcesz samodzielnie i w spokoju zrozumieć podstawy prądu stałego.
• Lubisz uczyć się w swoim tempie i o konkretnej godzinie.
• Powtarzasz przedmiot i nie możesz uczęszczać na zajęcia.
• Nie masz czasu na zajęcia, bo pracujesz.
• Jesteś nocnym markiem i nie możesz skupić się na wykładach i ćwiczeniach.

MODUŁ 1 – PODSTAWY

Długość modułu: 30 min

• Powitanie
• Prąd elektryczny i natężenie prądu elektrycznego
• Potencjał elektryczny
• Napięcie elektryczne
• Prawo Ohma
• Symbole
• Prądowe prawo Kirchhoffa
• Napięciowe prawo Kirchhoffa
• Łączenie rezystorów
• Bilans mocy (Zasada Tellegena)

Moduł pierwszy ma na celu przypomnienie oraz pogłębienie podstawowych praw fizycznych związanych z elektrycznością. Moduł ułatwi Ci intuicyjne zrozumienie prądu elektrycznego i napięcia. W lekcjach przypomnisz sobie prawo Ohma oraz prądowe i napięciowe prawa Kirchhoffa. Poznasz podstawowe elementy elektrotechniki i elektroniki takie jak źródła napięciowe i źródła prądowe. Dodatkowo dowiesz się jak wyznaczyć rezystancje zastępcze połączeń szeregowych i równoległych oporników. Nauczysz się stosować poznane prawa do rozwiązywania obwodów prądu elektrycznego metodą klasyczną.

MODUŁ 2 – METODA KLASYCZNA

Długość modułu: 17 min

• Przykład 1 – tylko źródła napięciowe
• Przykład 2 – źródła prądowe i napięciowe

W tym module nauczymy się stosować najbardziej podstawową z metod do rozwiązywania obwodów elektrycznych. Pokażę Ci jak wykorzystać prawa Kirchhoffa i prawo Ohma do znalezienia prądów gałęziowych i napięć na źródłach prądowych. W pierwszym zadaniu nauczymy się jak radzić sobie z obwodami, w których występują tylko źródła napięciowe. W drugim zadaniu rozwiążemy obwód zawierający również źródła prądowe.

MODUŁ 3 – METODA POTENCJAŁÓW WĘZŁOWYCH

Długość modułu: 58 min

• Przykład 1 – tylko źródła napięciowe
• Przykład 2 – źródła prądowe i napięciowe
• Przykład 3 – idealne źródło napięciowe między węzłami

W tym module dowiesz się, na czym polega oraz w jaki sposób stosuje się metodę potencjałów węzłowych do rozwiązywania obwodów prądu stałego. Zrozumiesz czym jest rezystancja gałęziowa, potencjał węzłowy oraz węzeł odniesienia. Nauczysz się układać równania węzłowe oraz uwzględniać w nich źródła prądowe i napięciowe. Pokażę Ci również jak radzić sobie z samotnymi wymuszeniami napięciowymi włączonymi między węzły. Moduł zawiera trzy obszerne przykłady rozwiązań, w których krok po kroku tłumaczę jak posługiwać się metodą potencjałów węzłowych.

MODUŁ 4 – METODA PRĄDÓW OCZKOWYCH

Długość modułu: 25 min

• Przykład 1 – tylko źródła napięciowe
• Przykład 2 – źródła prądowe i napięciowe

W module nauczysz się wykorzystywać metodę prądów oczkowych do rozwiązywania obwodów prądu stałego. Zrozumiesz czym jest prąd oczkowy oraz rezystancja oczkowa. W przystępny sposób, na podstawie dwóch dokładnie przeanalizowanych obwodów, pokażę Ci jak wyznaczyć prądy oczkowe oraz gałęziowe skomplikowanych obwodach rozgałęzionych. Nauczysz się również radzić sobie ze źródłami prądowymi włączonymi między dwoma oczkami oraz źródłami prądowymi znajdującymi się na krawędzi obwodu. Moduł zawiera dobrze przygotowane przykłady, które efektywnie przeprowadzą Cię przez proces nauki metody prądów oczkowych.

MODUŁ 5 – METODA SUPERPOZYCJI

Długość modułu: 15 min

• Przykład 1 – źródła prądowe i napięciowe

W starannie dobranym przykładzie pokażę Ci jak stosować metodę superpozycji do rozwiązywania obwodów prądu stałego. Zrozumiesz czym jest superpozycja i jak używać jej w obwodach zawierających źródła różnego typu. Pokażę, Ci jak rozwiązać obwód zawierający zarówno źródła prądowe jak i napięciowe za pomocą metody superpozycji.

MODUŁ 6 – METODA THEVENINA I METODA NORTONA

Długość modułu: 62 min

• Wstęp teoretyczny
• Dopasowanie energetyczne (moc maksymalna) – wyprowadzenie wzorów
• Przykład 1 – Twierdzenie Thevenina i Nortona
• Przykład 2 – Metoda Thevenina i Nortona
• Przykład 3 – Metoda Thevenina i Nortona

W ostatnim module szczegółowo omówione zostanie twierdzenie Thevenina oraz twierdzenie Nortona. Przechodząc przez moduł dowiesz się czym jest napięcie Thevenina, rezystancja Thevenina (rezystancja wewnętrzna) czy prąd Nortona (prąd zwarcia). Dodatkowo w części teoretycznej pokażę Ci, czym jest i jak wyprowadzić wzory na dopasowanie energetyczne i moc maksymalną. W części zadaniowej nauczysz się wyznaczać generator Thevenina i generator Nortona oraz rozwiązywać obwody metodą Thevenia i metodą Nortona.

BONUSY

• Dostęp do zamkniętej grupy kursantów na Facebooku, gdzie możesz rozwiać nurtujące Cię problemy dotyczące kursu.
• Skrypt ze wszystkimi wzorami oraz rozwiązaniami numerycznymi. Dostaniesz dostęp do obszernego skryptu w formacie PDF, zawierającego definicje pojęć, rozwiązania numeryczne analizowanych obwodów i zadanie domowe.
• Skrypty środowiska Octave. Do każdego obwodu rozwiązywanego w kursie dołączony jest skrypt Octave (darmowe środowisko obliczeniowe podobne do MATLAB), który automatycznie rozwiązuje równania. Napisanie programu komputerowego, który automatycznie rozwiązuje obwód, często wymagane jest na zajęciach odbywających się na uczelniach wyższych.
• Zadania domowe. Do każdej metody dołączone są dwa zadania do samodzielnego rozwiązania daną metodą.

Brakuje Ci czegoś w tym kursie? Napisz na kontakt@ilimi.pl, postaramy się dodać materiał.

Opinie uczniów

Dodaj opinię

Zamówienie

(więcej…)